神奇兔子数列,斐波那契数列10bet手机官网
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斐波那契数列

斐波那契数列

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假设第1个月有1对刚诞生的兔子,第2个月进入成熟期,第3个月开始生育兔子,而1对成熟的兔子每月会生1对兔子,兔子永不死去……那么,由1对初生兔子开始,12个月后会有多少对兔子呢?

斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁,人们深信这不是偶然的。

1、树木的新枝生发规律

对于一副52张牌的普通扑克,洗多少次是充分和必要的?7。

兔子数列即斐波那契数列,它的发明者是意大利数学家列昂纳多•斐波那契(Leonardo Fibonacci,1170—1250)。1202年,他撰写了《算盘全书》(《Liber Abaci》)一书,该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度—阿拉伯数码及其演算法则,介绍了中国的“盈不足术”;引入了负数,并研究了一些简单的一次同余式组。

 

树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列。这个规律,就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

将橙子堆成三角形的金字塔,最低层每边N个橙子,总共需要多少个橙子?N(N+1)(N+2)/6。

(1)问题分析

(1)细察下列各种花,它们的花瓣的数目具有斐波那契数:延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花。

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这些问题与我们生活有关,又似乎无关。

我们不妨拿新出生的1对小兔子分析:

 

2、花瓣数中的秘密

为什么选这本书读?想读一本数学家的传记,也许有助于激发孩子的学习兴趣。但翻开这本书后,我就涌上巨大的挫败感,因为其中提到的分形,复分析等名词,我都一无所知。但我还是硬着头皮读下来了。忽略你不懂的部分,去吸收你需要的部分。读到近文末的这句话,“相对于音乐和绘画而言,如果没有专业知识,就很难在一个大众化的水平上理解或欣赏数学”,我释然了。

第1个月,小兔子①没有繁殖能力,所以还是1对。

(2)细察以下花的类似花瓣部分,它们也具有斐波那契数:紫宛、大波斯菊、雏菊。

观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3、5、8、13、21、……

92个数学家中13位女性,5位华裔,无需通过这些统计数据说明什么,既不需要妄自菲薄,也不需要自我陶醉。对于孩子,如下的归纳也许有用。这些数学家中,

第2个月,小兔子①进入成熟期,仍然是1对。

 

其中,百合花花瓣数目为3,梅花5瓣,飞燕草8瓣,万寿菊13瓣,向日葵21或34瓣,雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。

1、很多数学家很小就爱看书。

第3个月,兔子①生了1对小兔子②,于是这个月共有2(1+1=2)对兔子。

斐波那契数经常与花瓣的数目相结合:

斐波那契螺旋:具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部。

2、有些数学家从小就喜欢数学,有的是很晚才喜欢上数学。

第4个月,兔子①又生了1对小兔子③。因此共有3(1+2=3)对兔子。

 

向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条。

3、有数学家从小就表现出数学方面的天赋,而有的是在学习中慢慢建立的能力。

第5个月,兔子①又生了1对小兔子④,而在第3个月出生的兔子②也生下了1对小兔子⑤。共有5(2+3=5)对兔子。

3………………………百合和蝴蝶花

原因分析:这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。

4、这些数学家都爱思考,爱琢磨,数学能力不是靠记忆。有些人,喜欢自己先思考,而不愿意去读别人写好的东西。

第6个月,兔子①②③各生下了1对小兔子。新生3对兔子加上原有的5对兔子这个月共有8(3+5=8)对兔子。

 

3、植物的叶、枝、茎的排列

5、有些数学家有家传,而有些则出生普通家庭。

……

5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草

叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(比如,多数的叶序比呈现为斐波那契数列)。

6、都被数学的美深深吸引。数学自身的内在趣味,已发现的优美的深刻联系,找到并证明新的深刻联系的挑战。

为了表达得更清楚,我们用图示来分别表示新生兔子、成熟期兔子和生育期兔子,兔子的繁殖过程如图1-10所示。

 

4、兔子繁殖

7、有部分数学家小时候不喜欢学校学习,是因为学校的教学方式,教学内容。这很正常。

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8………………………翠雀花

一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?

8、好多数学家喜欢音乐,甚至擅长音乐,尤其古典音乐,还有诗歌,喜欢运动。

图1-10 兔子繁殖过程

 

5、登楼梯的走法数量

9、有的数学家通过与其他人的合作获得灵感,有的则喜欢独自思考、研究。

这个数列有十分明显的特点,从第3个月开始,当月的兔子数=上月兔子数+当月新生兔子数,而当月新生的兔子正好是上上月的兔子数。因此,前面相邻两项之和,构成了后一项,即:

13………………………金盏草

有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

10、一开始不懂,不要紧,不要着急,总有一天会懂。

当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数

 

这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶,有两种登法;登上三级台阶,有三种登法;登上四级台阶,有五种登法……1,2,3,5,8,13……所以,登上十级,有89种走法。

11、有不少数学家都表达了自己的父母的感激,他们从不揠苗助长。

斐波那契数列如下:

21………………………紫宛

6、其他斐波那契数列

有趣的数学知识

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…

 

松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数(典型的有向日葵花瓣),蜂巢,蜻蜓翅膀,超越数e(可以推出更多),黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等。

斐波那契数列

递归式表达式:

34,55,84……………雏菊

7、

1、树木的新枝生发规律

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树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个年份的枝桠数,便构成斐波那契数列。这个规律,就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

那么我们该怎么设计算法呢?

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8、

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哈哈,这太简单了,用递归算法很快就算出来了!

 

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2、花瓣数中的秘密

(2)算法设计

(3)斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数0,然后依序点数叶子(假定没有折损),直到到达与那息叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(源自希腊词,意即叶子的排列)比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

9、叶子的生长方式

观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3、5、8、13、21、……

首先按照递归表达式设计一个递归算法,见算法1-8。

 

对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的),每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。

其中,百合花花瓣数目为3,梅花5瓣,飞燕草8瓣,万寿菊13瓣,向日葵21或34瓣,雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。

//算法1-8

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斐波那契螺旋:具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部。

Fib1(int n)

 

向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条。

{ if(n<1)

(4)斐波那契数有时也称松果数,因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中。这种情况在向日葵的种子盘中也会看到。此外,你能发现一些连续的鲁卡斯数吗?

原因分析:这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。

       return -1;

 

3、植物的叶、枝、茎的排列

  if(n==1||n==2)

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叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

        return 1;

 

4、兔子繁殖

   return Fib1(n-1)+Fib1(n-2);

(5)菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物。对于菠萝,我们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数。

一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?

}

 

5、登楼梯的走法数量

写得不错,那么算法设计完成后,我们有3个问题:

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有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

算法是否正确?

 

这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶,有两种登法;登上三级台阶,有三种登法;登上四级台阶,有五种登法……1,2,3,5,8,13……所以,登上十级,有89种走法。

算法复杂度如何?

斐波那契数列与黄金比值

6、其他斐波那契数列

能否改进算法?

 

松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数(典型的有向日葵花瓣),蜂巢,蜻蜓翅膀,超越数e(可以推出更多),黄金矩形、黄金分割、等角螺线,十二平均律等。

(3)算法验证分析

相继的斐波那契数的比的数列:

7、

第一个问题毋庸置疑,因为算法1-8是完全按照递推公式写出来的,所以正确性没有问题。那么算法复杂度呢?假设T(n)表示计算Fib1(n)所需要的基本操作次数,那么:

 

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n=1时,T(n)=1;n=2时,T(n)=1;n=3时,T(n)=3;//调用Fib1(2)、Fib1(1)和执行一次加法运算Fib1(2)+Fib1(1)

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8、

因此,n>2时要分别调用Fib1(n−1)、Fib1(n−2)和执行一次加法运算,即:

 

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n>2时,T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1;

  它们交错地或大于或小于黄金比10bet手机官网 15的值。该数列的极限为10bet手机官网 16。这种联系暗示了无论(尤其在自然现象中)在哪里出现黄金比、黄金矩形或等角螺线,那里也就会出现斐波那契数,反之亦然。

9、叶子的生长方式

递归表达式和时间复杂度T(n)之间的关系如下:

对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的),每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。

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那么怎么计算F(n)呢?

有兴趣的读者可以看本书附录A中通项公式的求解方法,也可以看下文中的简略解释。

斐波那契数列通项为:

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n趋近于无穷时,

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如果我们今年计算出了F(100),那么明年才能算出F(101),多算一个斐波那契数需要一年的时间,爆炸增量函数是算法设计的噩梦!算法1-8的时间复杂度属于爆炸增量函数,这在算法设计时是应当避开的,那么我们能不能改进它呢?

(4)算法改进

既然斐波那契数列中的每一项是前两项之和,如果记录前两项的值,只需要一次加法运算就可以得到当前项,时间复杂度会不会更低一些?我们用数组试试看,见算法1-9。

//算法1-9Fib2(intn){if(n<1)return-1;int*a=newint[n];//定义一个数组a[1]=1;a[2]=1;for(inti=3;i<=n;i++)a[i]=a[i-1]+a[i-2];returna[n];}

很明显,算法1-9的时间复杂度为О(n)。算法仍然是按照F(n)的定义,所以正确性没有问题,而时间复杂度却从算法1-8的指数阶降到了多项式阶,这是算法效率的一个巨大突破!

算法1-9使用了一个辅助数组记录中间结果,空间复杂度也为О(n),其实我们只需要得到第n个斐波那契数,中间结果只是为了下一次使用,根本不需要记录。因此,我们可以采用迭代法进行算法设计,见算法1-10。

//算法1-10Fib3(intn){inti,s1,s2;if(n<1)return-1;if(n==1||n==2)return1;s1=1;s2=1;for(i=3;i<=n;i++){s2=s1+s2;//辗转相加法s1=s2-s1;//记录前一项}returns2;}

迭代过程如下。

初始值:s1=1;s2=1;

当前解    记录前一项

i=3时s2=s1+s2=2s1=s2−s1=1

i=4时s2=s1+s2=3s1=s2−s1=2

i=5时s2=s1+s2=5s1=s2−s1=3

i=6时s2=s1+s2=8s1=s2−s1=5

……      ……      ……

算法1-10使用了若干个辅助变量,迭代辗转相加,每次记录前一项,时间复杂度为О(n),但空间复杂度降到了О(1)。

问题的进一步讨论:我们能不能继续降阶,使算法时间复杂度更低呢?实质上,斐波那契数列时间复杂度还可以降到对数阶О(logn),有兴趣的读者可以查阅相关资料。想想看,我们把一个算法从指数阶降到多项式阶,再降到对数阶,这是一件多么振奋人心的事!

(5)惊人大发现

科学家经研究在植物的叶、枝、茎等排列中发现了斐波那契数!例如,在树木的枝干上选一片叶子,记其为数1,然后依序点数叶子(假定没有折损),直到到达与那片叶子正对的位置,则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中,叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序(源自希腊词,意即叶子的排列)比。多数植物的叶序比呈现为斐波那契数的比,例如,蓟的头部具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的斐波那契螺旋,向日葵的种子的圈数与子数、菠萝的外部排列同样有着这样的特性,如图1-11所示。

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图1-11 斐波那契螺旋(图片来自网络)

观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们的花瓣数目为斐波那契数:3,5,8,13,21,…。如图1-12所示。

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图1-12 植物花瓣(图片来自网络)

树木在生长过程中往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔(例如一年)以后长出一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个年份的枝桠数便构成斐波那契数列,这个规律就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。

这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样的。这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有相近的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤太多的种子而在圆周处却又很稀疏。叶子的生长方式也是如此,对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的),每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5°,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360°之比是黄金分割数0.618的倒数,而这种生长方式就导致了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144。1992年,两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真实验,证实了在系统保持最低能量的状态下,花朵会以斐波那契数列的规律长出花瓣。

有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时,斐波那契数列前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割比0.618:1÷1 = 1,1÷2 = 0.5,2÷3 = 0.666,…,3÷5 = 0.6,5÷8 = 0.625,…,55÷89 = 0.617977,…,144÷233 = 0.618025,…,46368÷75025 = 0.6180339886……

越到后面,这些比值越接近黄金分割比:

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斐波那契数列起源于兔子数列,这个现实中的例子让我们真切地感到数学源于生活,生活中我们需要不断地通过现象发现数学问题,而不是为了学习而学习。学习的目的是满足对世界的好奇心,如果我们怀着这样一颗好奇心,或许世界会因你而不同!斐波那契通过兔子繁殖来告诉我们这种数学问题的本质,随着数列项的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.618时,我彻底被震惊到了,因为数学可以表达美,这是令我们叹为观止的地方。当数学创造了更多的奇迹时,我们会发现数学本质上是可以回归到自然的,这样的事例让我们感受到数学的美,就像黄金分割、斐波那契数列,如同大自然中的一朵朵小花,散发着智慧的芳香……

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